2011-8 第3問 (3)

直線OWとX軸のなす角をθ_wとし、
l_w = sqrt(w_x² + w_y²)

余弦定理より、
l₂² = l₁² + l_w² - 2l₁l_wcos(θ_w - θ₁)

加法定理より、
l₂² = l₁² + l_w² - 2l₁cosθ₁ * l_wcosθ_w - 2l₁sinθ₁ * l_wsinθ_w

関節Eの座標を(e_x, e_y)とすると、
l₂² = l₁² + l_w² - 2e_xw_x - 2e_yw_y
2e_yw_y = l₁² - l₂² + l_w² - 2e_xw_x

両辺を二乗して、
4e_y²w_y² = (l₁² - l₂² + l_w²)² - 4e_xw_x(l₁² - l₂² + l_w²) + 4e_x²w_x²

e_x² + e_y² = l₁²なので、
4w_y²l₁² - 4e_x²w_y² = (l₁² - l₂² + l_w²)² - 4e_xw_x(l₁² - l₂² + l_w²) + 4e_x²w_x²

e_xについて整理して、
4(w_x² + w_y²)e_x² - 4w_x(l₁² - l₂² + l_w²)e_x + (l₁² - l₂² + l_w²)² - 4w_y²l₁² = 0

w_x² + w_y² = l_w²なので、
4l_w²e_x² - 4w_x(l₁² - l₂² + l_w²)e_x + (l₁² - l₂² + l_w²)² - 4w_y²l₁² = 0

この2次方程式の判別式をD_xとすると、

D_x/16 = w_x²(l₁² - l₂² + l_w²)² - l_w²((l₁² - l₂² + l_w²)² - 4w_y²l₁²)

展開して整理すると、

D_x/16 = (w_x² - l_w²)(l₁² - l₂² + l_w²)² + 4w_y²l₁²l_w² 

w_x² - l_w² = - w_y²なので、
D_x/16 = w_y²(4l₁²l_w² - (l₁² - l₂² + l_w²)²) 

因数分解して、
D_x/16 = w_y²(l₂ - l₁ + l_w)(l₂ + l₁ - l_w)(l₁ - l₂ + l_w)(l₁ + l₂ + l_w)

l₁ + l₂ + l_w > 0なので、D_x > 0となるのは
w_y ≠ 0 かつ l₁ + l₂ > l_w かつ l₁ + l_w > l₂ かつ l₂ + l_w > l₁のとき、
つまり、
WがX軸上に存在せず、三点OEWが一直線上に並ばないときである。

このとき、DをD_x/16 = w_y²Dとすると、
e_x = (w_x(l₁² - l₂² + l_w²) ± w_{y *} sqrt(D)) / 2l_w²

e_x² + e_y² = l₁²より、
e_x = (w_x(l₁² - l₂² + l_w²) + w_y * sqrt(D)) / 2l_w² のとき e_y = (w_y(l₁² - l₂² + l_w²) - w_x * sqrt(D)) / 2l_w²
e_x = (w_x(l₁² - l₂² + l_w²) - w_y * sqrt(D)) / 2l_w² のとき e_y = (w_y(l₁² - l₂² + l_w²) + w_x * sqrt(D)) / 2l_w²

また、(w_x, w_y) ≠ (0, 0) で、関節WがX軸上に存在する場合、
e_x = w_x(l₁² - l₂² + l_w²) / 2l_w² = (l₁² - l₂² + w_x²) / 2w_x
e_y = ±w_x * sqrt(D) / 2l_w² = ±sqrt(D) / 2w_x

同様に、(w_x, w_y) ≠ (0, 0) で、関節WがY軸上に存在する場合、
e_x = ±sqrt(D) / 2w_y
e_y = (l₁² - l₂² + w_y²) / 2w_y

また、(w_x, w_y) ≠ (0, 0)で、三点OEWが一直線上に並ぶ場合、
e_x = w_x(l₁² - l₂² + l_w²) / 2l_w²
e_y = w_y(l₁² - l₂² + l_w²) / 2l_w²

よって、(w_x, w_y) ≠ (0, 0) のとき、
θ₁, θ₂はこれらのe_x, e_yを用いて、

θ₁ = atan(e_y, e_x)
θ₂ = atan(w_y - e_y, w_x - e_x) - θ₁
と表せる。

また、(w_x, w_y) = (0, 0) のとき、
θ₁, θ₂は一意に決まらない。